调和级数的和是发散的,并不收敛,但是这又是一个非常常用的级数,本文总结了调和级数的和的求法

一个事实

• 调和级数的和与 n 的自然对数的差值收敛到欧拉-马歇罗尼常数
  $$
  \begin{align}
  lim_{n \to \infty}(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} - ln(n)) = \gamma
  \end{align}
  $$
  • \(\gamma\) 为欧拉-马歇罗尼常数
    • (欧拉常数又称欧拉-马斯克若尼常数，近似值为γ≈0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335)

证明

• 事实上,调和级数的和为
  $$
  \begin{align}
  \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} = ln(n) + \gamma + \epsilon_{n}
  \end{align}
  $$
  • \(\gamma\) 为欧拉-马歇罗尼常数
  • \(\epsilon_{n}\) 约等于 \(\frac{1}{2n}\)，随着n的不断增大, \(\epsilon_{n}\) 趋于0

补充

• 两个不同的调和数之间的差值永远不是整数
• 除了n=1时以外,没有任何一个调和数是整数

本文介绍辛普森悖论

辛普森悖论

• 辛普森悖论指的是在分组比较中占优的一方，在合并数据后反而处于劣势的现象

药物效果示例

• 场景场景 ：比较两种药物（A 和 B）对轻症和重症患者的治愈率

• 分组数据 ：

  • 轻症患者组 ：
    • 药 A：治疗 10 人 ，治愈 9 人 -> 治愈率 90%
    • 药 B：治疗 100 人 ，治愈 80 人 -> 治愈率 80%
  • 重症患者组 ：
    • 药 A：治疗 100 人 ，治愈 30 人 -> 治愈率 30%
    • 药 B：治疗 10 人 ，治愈 2 人 -> 治愈率 20%

• 分组结论 ：

  • 轻症组：药 A 的治愈率（90%）> 药 B（80%）
  • 重症组：药 A 的治愈率（30%）> 药 B（20%）

• 合并数据 ：

  • 药 A：总治愈 39 人（9 + 30），总治疗 110 人 -> 治愈率 35.5%
  • 药 B：总治愈 82 人（80 + 2），总治疗 110 人 -> 治愈率 74.5%

• 悖论出现 ：

• 尽管药 A 在每个分组的治愈率都更高，但合并后药 B 的总治愈率却显著优于药 A。这是因为药 B 主要用于治愈率高的轻症患者（样本量 100 vs. 10），而药 A 更多用于治愈率低的重症患者（样本量 100 vs. 10），导致整体结果反转

核心原因 ：

• 数据分组中存在混杂变量（此处为病情严重程度），且各组样本量差异巨大，合并时权重不同引发悖论

什么药是真正优秀的？

• 药 A才是真正疗效更好的，因为在任何场景下（不论轻症还是重症下），都是药 A 效果更好，之所以合并到一起统计出现悖论，是因为医生开药时存在刻意倾向导致的，给轻症患者更多的开了药 B，这相当于强行提高了药 B 的治愈率
• 其他类似问题也出现在不同学院男女录取率上