Math——调和级数的和

Posted on

调和级数的和是发散的,并不收敛,但是这又是一个非常常用的级数,本文总结了调和级数的和的求法

一个事实

  • 调和级数的和与n的自然对数的差值收敛到欧拉-马歇罗尼常数
    $$
    \begin{align}
    lim_{n \to \infty}(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} - ln(n)) = \gamma
    \end{align}
    $$
    • \(\gamma\)为欧拉-马歇罗尼常数
      • (欧拉常数又称欧拉-马斯克若尼常数，近似值为γ≈0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335)

证明

  • 事实上,调和级数的和为
    $$
    \begin{align}
    \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} = ln(n) + \gamma + \epsilon_{n}
    \end{align}
    $$
    • \(\gamma\)为欧拉-马歇罗尼常数
    • \(\epsilon_{n}\)约等于\(\frac{1}{2n}\),随着n的不断增大,\(\epsilon_{n}\)趋于0

补充

  • 两个不同的调和数之间的差值永远不是整数
  • 除了n=1时以外,没有任何一个调和数是整数