核心定义
- 一句话定义：平稳分布在马尔可夫链长期演化后系统达到的稳态概率分布
- 对于一个离散时间马尔可夫链（Markov Chain） ，若存在一个概率分布 \(\pi\) 满足以下方程：
$$
\pi = \pi P
$$- \(P\) 是转移概率矩阵（\(P_{ij}\) 表示从状态 \(i\) 转移到状态 \(j\) 的概率）
- \(\pi\) 是行向量，表示每个状态的概率
- 则称 \(\pi\) 为该马尔可夫链的平稳分布（Stationary Distribution）。直观上，这意味着系统达到 \(\pi\) 后，状态分布不再随时间改变
关键性质
存在性与唯一性 ：
- 若马尔可夫链是不可约马尔可夫链（Irreducible Markov Chain）（不可约马尔可夫链的所有状态互通），且满足正常返（Positive Recurrent）特性（即每个状态会被无限次访问），则平稳分布存在且唯一
- 对于有限状态的不可约链，平稳分布一定存在
长期行为 ：
- 无论初始分布如何，若链满足一定条件（如非周期性），长期后的状态分布会收敛到平稳分布：
$$
\lim_{n \to \infty} \mu P^n = \pi
$$
其中 \(\mu\) 是初始分布
- 无论初始分布如何，若链满足一定条件（如非周期性），长期后的状态分布会收敛到平稳分布：
细致平衡条件（Detailed Balance）：
- 若分布 \(\pi\) 满足 \(\pi_i P_{ij} = \pi_j P_{ji}\)（对所有 \(i,j\)），则 \(\pi\) 是平稳分布。满足此条件的链称为可逆马尔可夫链
计算方法
- 解线性方程组 ：
- 通过 \(\pi = \pi P\) 和 \(\sum_i \pi_i = 1\) 联立求解
- 例如，对两状态链：
$$
\begin{cases}
\pi_1 = \pi_1 P_{11} + \pi_2 P_{21} \\
\pi_2 = \pi_1 P_{12} + \pi_2 P_{22} \\
\pi_1 + \pi_2 = 1
\end{cases}
$$
- 其他求解方法：特征向量法
例子
- 假设天气模型（晴/雨）的转移矩阵，描述了晴雨天转换的概率：
$$
P = \begin{bmatrix}
0.9 & 0.1 \\
0.5 & 0.5
\end{bmatrix}
$$ - 解 \(\pi P = \pi\) 得 \(\pi = [\frac{5}{6}, \frac{1}{6}]\)，即长期下有5/6概率为晴天，1/6为雨天