Math——函数空间总结

最近在看一些书籍时看到一些函数空间的定义，本科学过一些，但是由于不常用忘得差不多了，本文总结一下希尔伯特空间、欧几里得空间和巴拿赫空间等函数空间的概念，本文是对相关概念的基础理解，非专业定义

欧几里得空间、希尔伯特空间和巴拿赫空间属于函数空间。函数空间 = 元素 + 规则，即一个函数空间由元素与元素所满足的规则定义

距离：是指在一个空间中，两个元素之间的某种度量，表示它们之间的“远近”关系。对于集合 \(X\) 中的任意两个元素 \(x,y\) ，距离函数 \(d(x,y)\) 需要满足非负性、对称性、三角不等式等性质

线性：在数学中，线性意味着满足可加性和数乘性。对于空间 \(V\) 中的元素 \(x,y\) 以及标量 \(a,b\) ，若 \(ax + by\) 也属于 \(V\) ，则称 \(V\) 具有线性性质
简单理解：若一个空间为线性空间，只要我们知道了此空间的所有基，便可以用加法与数乘表示这一空间所有的元素

内积：是两个向量之间的一种运算，它将两个向量映射为一个标量。对于向量 \(x,y\) ，内积 \(\langle x,y\rangle\) 满足共轭对称性、线性性、正定性
内积空间都是赋范空间
有限维内积空间便是我们最熟悉的欧几里得空间

完备性 ：一个空间是完备的，是指该空间中的任何柯西序列都收敛于该空间中的某个元素。柯西序列是指随着序列的推进，序列中的元素之间的距离越来越小，最终趋于零
柯西序列的定义和性质：
- 柯西序列定义 ：设 \((X, d)\) 是一个度量空间， \({x_n}\) 是 \(X\) 中的一个序列。如果对于任意给定的正数 \(\epsilon>0\) ，存在正整数 \(N\) ，使得当 \(m, n>N\) 时，都有 \(d(x_m, x_n)<\epsilon\) ，则称序列 \({x_n}\) 是一个柯西序列（Cauchy sequence）。直观地说，柯西序列中的元素随着序号的增大，彼此之间的距离会越来越小，最终可以任意小
- 柯西序列性质 ：
  - 有界性 ：在度量空间中，柯西序列一定是有界的。即存在一个正数 \(M\) 和一个点 \(x_0\in X\) ，使得对于所有的 \(n\) ，都有 \(d(x_n, x_0)\leq M\) 。
  - 唯一性 ：在完备度量空间中，柯西序列的极限是唯一的。也就是说，如果一个柯西序列收敛，那么它只能收敛到一个点
对完备性的简单理解：对集合中的元素取极限不超出此空间便称其具有完备性