题目描述
- 餐馆有12生肖优惠券,每天给小明等概率随机发放一张,问: 小明集齐12中生肖优惠券的天数
- 相关延伸: 掷骰子, 要求每个面都出现一次, 求投掷次数的期望
问题求解
- 思路:
- 把天数 \(X\) 这个随机变量变成12个随机变量的和$$X = \sum_{i=1}^{12}x_{i}$$
- 于是可以把期望分解为12个随机变量的期望和$$E(X) = \sum_{i=1}^{12}E(x_{i})$$
- 第一种优惠券(12种中的任意一种均可):
- 第一天随机拿到一个优惠券一定能够对应其中某一个生肖,概率为 \(p_{1} = 1\)
- 期望天数 \(E(x_{1})\) 与概率的关系为 \(E(x_{1})\cdot p_{1} = 1\)
- 一个直观的说明,为什么 \(E(x_{1})\cdot p_{1} = 1\)：由于每一天成功的概率为 \(p_{1}\)，不成功概率为 \(1-p_{1}\)，显然为二项分布,由二项分布的期望应该为1次 ，即 \(np_{1}=1\)，其中n就是我们天数的期望(注意:二项分布的期望与这里的天数期望不同,后者为使得二项分布期望为1所需要的天数)
- 上面的证明不够严谨,严谨的数学证明如下:
- 假设期望天数是 \(E\)，每天成功的概率为 \(p\)，下面我们求成功和不成功的概率分布
- 第一天成功的概率为 \(p\)，成功时只需要 \(1\) 天即可, 即有 \(p\) 的概率需要 \(1\) 天
- 第一天没成功的概率为 \(1-p\)，不成功时需要将当前日子(\(1\) 天)算上,然后回到原点,重新开始,即有 \(1-p\) 的概率需要 \(1+E\) 天
- 期望公式
$$E = p*1 + (1-p)(1+E)$$ - 化简为:
$$pE = 1$$
- 需要天数的期望为$$E(x_{1}) = \frac{1}{p_{1}} = 1$$
- 第二种优惠券(11种中的任意一种均可):
- 每天随机收到的优惠券有 \(p_{2} = \frac{11}{12}\) 的概率满足剩余的11个生肖中的一个
- 期望天数 \(E(x_{2})\) 与概率的关系为 \(x_{2}\cdot p_{2} = 1\)
- 需要的天数期望为$$E(x_{2}) = \frac{1}{p_{2}} = \frac{12}{11}$$
- …
- 以此类推可得:
$$
\begin{align}
E(X) &= \sum_{i=1}^{n}E(x_{i}) \\
&= \sum_{i=0}^{11}\frac{12}{12-i} \\
&= \sum_{i=1}^{12}\frac{12}{i} \\
&= 12\sum_{i=1}^{12}\frac{1}{i} \\
\end{align}
$$ - 由于调和级数的和与n的自然对数有关系,详情参考调和级数的和
$$
\begin{align}
\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} = ln(n) + \gamma + \epsilon_{n}
\end{align}
$$- \(\gamma\) 为欧拉-马歇罗尼常数,近似值为γ≈0.57721
- \(\epsilon_{n}\) 约等于 \(\frac{1}{2n}\)，随着n的不断增大, \(\epsilon_{n}\) 趋于0
- 所以有
$$
\begin{align}
E(X) &= 12\sum_{i=1}^{12}\frac{1}{i} \\
&\approx 12(ln(12)+\gamma+\frac{1}{24})
\end{align}
$$ - 将12生肖推广到n,有
$$
\begin{align}
E(X) &= n\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} \\
&\approx n(ln(n)+\gamma+\frac{1}{2n}) \\
&\approx nln(n)
\end{align}
$$