CA——(AMA)Affine-maximizer-auction机制

仿射最大化拍卖（Affine Maximizer Auction, AMA）是一种机制设计，它旨在最大化卖家的收益同时确保买家在占优策略下报价（DSIC，Dominant Strategy Incentive Compatible）和个体理性（IR，Individually Rational）。AMA是Vickrey-Clarke-Groves (VCG) 拍卖的一种泛化形式

假设有 $n$ 个买家竞拍一个位置，给定买家出价 $ B $，以及一组预定义的分配方案菜单 $ \mathcal{A} $，AMA选择一个分配方案 $ A^* \in \mathcal{A} $，使得如下仿射福利函数最大：
$$ A^* = \arg\max_{A \in \mathcal{A}} \left( \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot u_i(A, B) + \lambda(A) \right) $$
- $ w_i $ 是买家 $ i $ 的权重，$ w_i \in \mathbb{R}_{+} $；
- $ u_i(A, B) $ 是买家 $ i $ 在分配方案 $ A $ 下根据出价 $ B $ 计算的效用。在其他商家出价不变时， $ u_i(A, B) $ 是关于商家自身出价 $b_i$ 是非减函数；
- $ \lambda(A) $ 是对每个分配方案 $ A $ 的增强变量（也称为仿射项），它是一个实数值

对于每个买家 $ k $，其需要支付的价格 $ p_k $ 为她在其他买家出价情况下所带来的外部性。具体来说，买家 $ k $ 需要支付的价格为：
$$ p_k = \sum_{i \neq k} w_i \cdot u_i(A_{-k}^*, B_{-k}) + \lambda(A_{-k}^*) - \left( \sum_{i \neq k} w_i \cdot u_i(A^*, B) + \lambda(A^*) \right) $$
- $ A_{-k}^* $ 是去除买家 $ k $ 后最大化其他人仿射福利的分配方案；
- $ B_{-k} $ 表示除买家 $ k $ 外所有买家的出价集合；
- $ A^* $ 是包括买家 $ k $ 在内的最优分配方案
计费规则分析：
- 这个价格计算方法下，如果其他买家的出价保持不变，保证了即使买家 $ k $ 改变她的出价，也不会影响她实际需要支付的价格
- 此外，由于买家的真实估值不会导致负效用，所以这个机制也是个体理性的（IR）

Vickrey-Clarke-Groves (VCG) 机制：核心目标是最大化社会福利 ，而不是直接优化卖家的收益，其分配规则选择使总效用最大化的方案，支付规则基于买家对其他买家造成的外部性来计算
Affine Maximizer Auction (AMA)机制：核心目标是最大化放射函数 ，AMA是VCG机制的一种泛化形式，它引入了仿射项（affine term）和权重参数，从而允许更灵活地设计拍卖规则，由于引入了仿射项 $ \lambda(A) $，AMA可以在保持DSIC的同时，通过适当选择 $ \lambda(A) $ 来提高卖家的收益
从理论上讲，AMA的收益上限不低于VCG ，因为：
- VCG机制是AMA的一个特例，当 $ w_i = 1 $ 且 $ \lambda(A) = 0 $ 时，AMA退化为VCG
- AMA通过调整 $ w_i $ 和 $ \lambda(A) $，可以在保持DSIC的同时探索更大的收益空间
实际收益取决于具体的买家估值分布、市场环境以及机制设计的细节：
- 如果买家估值分布较为均匀，VCG机制通常已经接近最优收益，AMA的优势可能不明显
- 如果买家估值分布不均匀或市场存在不对称性，AMA可以通过调整 $ \lambda(A) $ 来更好地提取剩余价值，从而实现更高的收益